Question

1．設函數(shù)y=f（x）=log_a（a-ka^x）（a＞0，a≠1，k∈R）
（1）若函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)就是其本身，求k的值；
（2）在（1）的條件下，求f（x）≥1的解集；
（3）我們學過許多函數(shù)的反函數(shù)就是其本身．例如y=x，y=$\frac{1}{x}$等，請你再舉出除了上述3種類型之外的2個函數(shù)，使得函數(shù)的反函數(shù)就是其本身．

Answer 1

分析 （1）求出y=f（x）的反函數(shù)，根據(jù)f（x）的原函數(shù)與反函數(shù)相同，列出方程，求出k的值；
（2）k=1時，由f（x）≥1得出為log_a（a-a^x）≥1，討論a的取值范圍，求出不等式的解集；
（3）舉例說明函數(shù)的反函數(shù)是其本身的函數(shù)即可．

解答 解：（1）∵y=f（x）=log_a（a-ka^x），
∴a^y=a-ka^x，
∴x=log_a$\frac{a{-a}^{y}}{k}$，
∴f（x）的反函數(shù)為y=log_a$\frac{a{-a}^{x}}{k}$；
又∵f（x）的原函數(shù)與反函數(shù)是同一函數(shù)，
∴l(xiāng)og_a（a-ka^x）=log_a$\frac{a{-a}^{x}}{k}$恒成立，
即a-ka^x=$\frac{a{-a}^{x}}{k}$恒成立，
即（k²-1）a^x+（1-k）a=0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}-1=0}\\{1-k=0}\end{array}\right.$，
解得k=1；
（2）k=1時，f（x）=log_a（a-a^x），
不等式f（x）≥1即為log_a（a-a^x）≥1；
當a＞1時，不等式化為a-a^x≥a，即a^x≤0，無解；
當1＞a＞0時，不等式化為0＜a-a^x≤a，即a＞a^x≥0，解得x＞1；
綜上，a＞1時，不等式無解，
1＞a＞0時，不等式的解集為{x|x＞1}；
（3）函數(shù)的反函數(shù)是其本身的函數(shù)有y=-$\frac{1}{x}$（x≠0）與y=-x等．

點評 本題考查了分類討論的應用問題，也考查了對數(shù)函數(shù)函數(shù)與反函數(shù)的應用問題，考查了不等式的解法與應用問題，是綜合性題目．