Question

14．已知△ABC的三邊a，b，c所對的角分別為A，B，C，且a：b：c=7：5：3．
（1）求cosA的值；
（2）若△ABC的面積為45$\sqrt{3}$，求△ABC三條邊長a，b，c的大�。�

Answer 1

分析 （1）由a：b：c=7：5：3可設(shè)a=7k，b=5k，c=3k（k＞0），由余弦定理得求出cosA的值；
（2）由（1）和平方關(guān)系求出sinA的值，由條件和三角形的面積公式求出三條邊長a，b，c的大�。�

解答 解：（1）因?yàn)閍：b：c=7：5：3，
所以可設(shè)a=7k，b=5k，c=3k（k＞0），…（2分）
由余弦定理得，$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}$=$\frac{{{{（{5k}）}^2}+{{（{3k}）}^2}-{{（{7k}）}^2}}}{2×5k×3k}$=$-\frac{1}{2}$；   …（4分）
（2）由（1）知，$cosA=-\frac{1}{2}$，
因?yàn)锳是△ABC的內(nèi)角，所以$sinA=\sqrt{1-{{cos}^2}A}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，…（6分）
由（1）知b=5k，c=3k，因?yàn)椤鰽BC的面積為$45\sqrt{3}$，
所以$\frac{1}{2}bcsinA=45\sqrt{3}$，…（8分）
即$\frac{1}{2}×5k×3k×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=45\sqrt{3}$，解得$k=2\sqrt{3}$，…（10分）
解得，a=7k=$14\sqrt{3}$，b=5k=$10\sqrt{3}$，c=3k=$6\sqrt{3}$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查余弦定理，平方關(guān)系的應(yīng)用，以及三角形的面積公式，考查化簡、計(jì)算能力，屬于中檔題．