Question

14．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n+$\frac{{{a}^{2}}_{n}}{{n}^{2}}$，數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$
（Ⅰ）證明：b_n∈（0，1）
（Ⅱ）證明：$\frac{\frac{1}{_{n+1}}-1}{\frac{1}{_{n}}-1}$=$\frac{_{n}+n+1}{_{n}+n}$
（Ⅲ）證明：對(duì)任意正整數(shù)n有a_n$＜\frac{11}{6}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$和a_n+1=a_n+$\frac{{{a}^{2}}_{n}}{{n}^{2}}$，得到$_{n+1}=\frac{_{n}（n+_{n}）}{（n+1）}$，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明0＜b_n＜1；
（Ⅱ）把$_{n+1}=\frac{_{n}（n+_{n}）}{n+1}$變形得$\frac{1}{_{n+1}}=\frac{n+1}{_{n}（n+_{n}）}$，求得$\frac{1}{_{n+1}}-1=\frac{n+1-_{n}（n+_{n}）}{_{n}（n+_{n}）}$，進(jìn)一步整理得答案；
（Ⅲ）由（Ⅱ）的結(jié)論得到$\frac{1}{_{n}}-1=（\frac{1}{_{1}}-1）•\frac{_{1}+2}{_{1}+1}•\frac{_{2}+3}{_{2}+2}…\frac{_{n-1}+n}{_{n-1}+n-1}$，放縮后得到$_{n}≤\frac{2}{n+3}$，然后結(jié)合${a}_{n+1}={a}_{n}+{_{n}}^{2}$知，當(dāng)n≥2時(shí)，
${a}_{n}={a}_{1}+{_{1}}^{2}+{_{2}}^{2}+…+{_{n-1}}^{2}$$≤{a}_{1}+4（\frac{1}{{4}^{2}}+\frac{1}{{5}^{2}}+…+\frac{1}{（n+2）^{2}}）$，再放大證得答案．

解答 證明：（Ⅰ）由b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$，且a_n+1=a_n+$\frac{{{a}^{2}}_{n}}{{n}^{2}}$，得$（n+1）_{n+1}=n_{n}+{_{n}}^{2}$，
∴$_{n+1}=\frac{_{n}（n+_{n}）}{（n+1）}$，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：0＜b_n＜1．
①由a₁=$\frac{1}{2}$∈（0，1），知0＜b₁＜1，
②假設(shè)0＜b_k＜1，則$_{k+1}=\frac{_{k}（k+_{k}）}{（k+1）}$，
∵0＜b_k＜1，∴$0＜\frac{k+_{k}}{k+1}＜1$，則0＜b_k+1＜1．
綜上，當(dāng)n∈N^*時(shí)，b_n∈（0，1）；
（Ⅱ）由$_{n+1}=\frac{_{n}（n+_{n}）}{n+1}$，可得，$\frac{1}{_{n+1}}=\frac{n+1}{_{n}（n+_{n}）}$，
∴$\frac{1}{_{n+1}}-1=\frac{n+1-_{n}（n+_{n}）}{_{n}（n+_{n}）}$=$\frac{（1-_{n}）（1+_{n}+n）}{_{n}（n+_{n}）}$=$（\frac{1}{_{n}}-1）•\frac{_{n}+n+1}{_{n}+n}$．
故$\frac{\frac{1}{_{n+1}}-1}{\frac{1}{_{n}}-1}=\frac{_{n}+n+1}{_{n}+n}$；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：$\frac{1}{_{n}}-1=（\frac{1}{_{1}}-1）•\frac{_{1}+2}{_{1}+1}•\frac{_{2}+3}{_{2}+2}…\frac{_{n-1}+n}{_{n-1}+n-1}$
$≥（\frac{1}{_{1}}-1）•\frac{3}{2}•\frac{4}{3}…\frac{n+1}{n}$，
故$_{n}≤\frac{2}{n+3}$．
由${a}_{n+1}={a}_{n}+{_{n}}^{2}$知，當(dāng)n≥2時(shí)，
${a}_{n}={a}_{1}+{_{1}}^{2}+{_{2}}^{2}+…+{_{n-1}}^{2}$$≤{a}_{1}+4（\frac{1}{{4}^{2}}+\frac{1}{{5}^{2}}+…+\frac{1}{（n+2）^{2}}）$
$≤{a}_{1}+4（\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+…+\frac{1}{（n+1）（n+2）}）$=$\frac{1}{2}+4（\frac{1}{3}-\frac{1}{n+2}）＜\frac{11}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，訓(xùn)練了放縮法證明數(shù)列不等式，對(duì)遞推式的循環(huán)運(yùn)用是證明該題的關(guān)鍵，考查了學(xué)生的邏輯思維能力和靈活處理問(wèn)題的能力，是壓軸題．