Question

13．一款游戲的規(guī)則如下：如圖為游戲棋盤，從起點到終點共7步，選定一副撲克牌中的4張A、2張2、1張3，其中A代表前進1步、2代表前進2步、3代表前進3步，如果在終點前一步時抽取到2或3，則只需前進一步結(jié)束游戲，如果在終點前兩步時抽取到3，則只需前進兩步結(jié)束游戲，游戲開始時不放回的依次抽取一張決定前進的步數(shù)．

（1）求恰好抽取4張卡片即結(jié)束游戲的概率；
（2）若游戲結(jié)束抽取的卡片張數(shù)記為X，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）取4張步數(shù)要大于等于7，卡片可以是2個A、1個2、1個3或1個A、2個2、1個3，由此能求出恰好抽取4張卡片即結(jié)束游戲的概率．
（2）由題意X可能取值為3，4，5，6，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）設(shè)抽取4張卡片即結(jié)束游戲為事件A，取4張步數(shù)要大于等于7，
卡片可以是2個A、1個2、1個3或1個A、2個2、1個3，
∴恰好抽取4張卡片即結(jié)束游戲的概率：
P（A）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}{A}_{4}^{4}+{C}_{4}^{1}{A}_{3}^{1}{A}_{3}^{3}}{{A}_{7}^{4}}$=$\frac{3}{7}$．…5分（2）由題意X可能取值為3，4，5，6，
P（X=3）=$\frac{{A}_{3}^{3}}{{A}_{7}^{3}}$=$\frac{1}{35}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}{A}_{4}^{4}+{C}_{4}^{1}{A}_{3}^{1}{A}_{3}^{3}}{{A}_{4}^{7}}$=$\frac{3}{7}$，
P（X=5）=$\frac{{A}_{5}^{5}+{C}_{4}^{3}{A}_{5}^{5}+{C}_{4}^{3}{C}_{2}^{1}{A}_{4}^{4}+{C}_{4}^{2}{A}_{4}^{4}}{{A}_{7}^{5}}$=$\frac{47}{105}$，
P（X=6）=$\frac{{C}_{2}^{1}{A}_{5}^{5}+{C}_{2}^{1}{A}_{5}^{5}}{{A}_{7}^{6}}$=$\frac{2}{21}$，…10分
∴X的分布列為：

X	3	4	5	6
P	$\frac{1}{35}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{47}{105}$	$\frac{2}{21}$

EX=$3×\frac{1}{35}+4×\frac{3}{7}+5×\frac{47}{105}+6×\frac{2}{21}$=$\frac{484}{105}$．…12分

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．