Question

12．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離比它到點(diǎn)M（-1，0）的距離少1．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）若直線l：x+y+1=0與動(dòng)點(diǎn)P的軌跡交于A、B兩點(diǎn)，求△OAB的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出P的坐標(biāo)，由題意列式，對(duì)x分類化簡得答案；
（2）聯(lián)立直線方程與拋物線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及拋物線的焦點(diǎn)弦長公式求得|AB|，再由點(diǎn)到直線的距離公式求出O到直線AB的距離，代入三角形面積公式得答案．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），則|x|+1=$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$．
若x＞0，則x+1=$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$，兩邊平方并整理得y=0；
若x＜0，則1-x=$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$，兩邊平方并整理得y²=-4x．
∴P點(diǎn)軌跡方程為y=0（x＞0）或y²=-4x；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=-4x\\ x+y+1=0\end{array}\right.$，消去y得：x²+6x+1=0．
則x₁+x₂=-6，
∴|AB|=2-（x₁+x₂）=8，
原點(diǎn)O到直線x+y+1=0的距離d=$\frac{|1|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}×8×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，考查了直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．