Question

已知曲線y=

2

ex+1

，則曲線的切線斜率取得最小值時(shí)的切線被圓C：x²+y²=4截得的弦長(zhǎng)等于（　�。�

A． 4 5 5

B． 2 5 5

C． 8 5 5

D． 6 5 5

Answer 1

由題意得，y′=

-2(ex+1)′

(ex+1)2

=

-2ex

(ex+1)2

=

-2

ex+ 1 ex +2

，
∵e^x＞0，∴ex+

1

ex

≥2

ex× 1 ex

=2，當(dāng)且僅當(dāng)ex=

1

ex

時(shí)取等號(hào)，此時(shí)x=0，
∴ex+

1

ex

+2≥4，則y′=

-2

ex+ 1 ex +2

≥-

1

2

，當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，
∴當(dāng)x=0時(shí)，曲線的切線斜率取最小值-

1

2

，則切點(diǎn)的坐標(biāo)（0，1），
∴切線的方程是：y-1=-

1

2

（x-0），即x+2y-2=0，
圓C：x²+y²=4的圓心（0，0）到切線的距離是

|-2|

1+4

=

2 5

5

，
∴切線被圓C：x²+y²=4截得的弦長(zhǎng)為2×

22-( 2 5 5 )2

=

8 5

5

，
故選C．