Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)二次函數(shù)f(x)＝x²＋2x＋b(b＜1)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C．

(Ⅰ)求圓C的方程；

(Ⅱ)設(shè)定點(diǎn)A是圓C經(jīng)過(guò)的某定點(diǎn)(其坐標(biāo)與b無(wú)關(guān))，問(wèn)是否存在常數(shù)k，使直線(xiàn)y＝kx＋k與圓C交于點(diǎn)M，N，且|AM|＝|AN|．若存在，求k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)設(shè)所求圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0　　2分 　　令y＝0得x2＋Dx＋F＝0這與x2＋2x＋b＝0是同一個(gè)方程，故D＝2，F(xiàn)＝b． 　　令x＝0得y2＋Ey＝0，此方程有一個(gè)根為b，代入得出E＝－b－1． 　　所以圓C的方程為x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0　　6分 　　(Ⅱ)由于圓C經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A，所以關(guān)于b的方程(1－y)b＋x2＋y2＋2x－y＝0有無(wú)窮解，∴ 　　∴圓C經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)A(0，1)或A(－2，1)　　8分 　　由于直線(xiàn)y＝kx＋k恒過(guò)定點(diǎn)(－1，0)在圓內(nèi)， 　　所以直線(xiàn)與圓C有兩個(gè)交點(diǎn)M，N　　9分 　　∵|AM|＝|AN|，∴點(diǎn)A在線(xiàn)段MN的垂直平分線(xiàn)上， 　　即AC與直線(xiàn)y＝kx＋k垂直　　10分 　�、偃鬉(0，1)，則k·kAC＝－1，得 　　②若A(－2，1)，則k·kAC＝－1，得． 　　綜上，　　12分