Question

如圖，直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的底面積是等腰直角三角形，∠A₁C₁B₁=90°，A₁C₁=1，
AA₁=，N、M分別是線段B₁B、AC₁的中點(diǎn)．
（I）證明：MN∥平面ABC；
（II）求A₁到平面AB₁C₁的距離
（III）求二面角A₁﹣AB₁﹣C₁的大小．

Answer 1

解：（I）證明：取AC中點(diǎn)F，連接MF，BF，
在三角形AC₁C中，MN∥C₁C且，
∴MF∥BN且MF=BN
∴四邊形MNBF為平行四邊形
∴BF∥MN
∵BF平面ABC
MN平面ABC不成立
∴MN∥平面ABC
（II）設(shè)A₁到平面AB₁C₁的距離為h，AA₁⊥平面A₁B₁C₁
∴
∴
∵，

∴
（III）三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁是直三棱柱，平面ABB₁A₁⊥平面A₁B₁C₁，
又點(diǎn)D是等腰直角三角形A₁B₁C₁斜邊A₁B₁的中點(diǎn)．則C₁D⊥A₁B₁
所以，C₁D⊥平面A₁B₁BA；
平面A₁B₁BA內(nèi)，過D作DE⊥AB₁，垂足為E，連接C₁E，則C₁E⊥AB₁；
∴∠C₁ED是二面角，A₁﹣AB₁﹣C₁的平面角，
在Rt
所以，二面角，A₁﹣AB₁﹣C₁的大小為．