Question

10．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知${a_1}=1，{S_n}=n{a_n}-2n（n-1）（n∈{N^*}）$．
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并求出其通項(xiàng)公式；
（2）若${S_1}+\frac{S_2}{2}+\frac{S_3}{3}+…+\frac{S_m}{m}=400$，求正整數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系：n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，化簡(jiǎn)整理由等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，即可得到；
（2）運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式可得S_n=n（2n-1），再化簡(jiǎn)所給等式，由等差數(shù)列的求和公式，解方程可得m=20．

解答 解：（1）證明：當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=na_n-2n（n-1），
∴S_n-1=（n-1）a_n-1-2（n-1）（n-2），
兩式相減可得，a_n=na_n-（n-1）a_n-1-4（n-1），
則（n-1）a_n=（n-1）a_n-1+4（n-1），
∴a_n=a_n-1+4，
∴{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，∴a_n=4n-3；
（2）S_n=$\frac{1}{2}$n（4n-2）=n（2n-1），
若${S_1}+\frac{S_2}{2}+\frac{S_3}{3}+…+\frac{S_m}{m}=400$，即為1+3+5+7+…+（2m-1）=400，
即有$\frac{1}{2}$m（1+2m-1）=400，即m²=400，
解得m=20．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)和求和公式的運(yùn)用，注意運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，是解題的關(guān)鍵．