Question

一個(gè)同心圓形花壇，分為兩部分，中間小圓部分種植草坪和綠色灌木，周?chē)�的圓環(huán)分為n（n≥3,n∈N）等份，種植紅、黃、藍(lán)三色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花.

Answer 1

（1）如圖（1），圓環(huán)分成的3等份為a₁，a₂，a₃，有多少不同的種植方法？如圖（2），圓環(huán)分成的4等份為a₁，a₂，a₃，a₄，有多少不同的種植方法？

（2）如圖（3），圓環(huán)分成的n等價(jià)為a₁，a₂，a₃，…，a₄時(shí)，有不同的種植方法為S（n）種，試寫(xiě)出S（n）與S（n-1）滿足的關(guān)系式，并求出S（n）的值.

解析：（1）如圖（1），先對(duì)a₁部分種植，有3種不同的種法，再對(duì)a₂、a₃種植，因?yàn)閍₂、a₃與a₁不同顏色，a₂、a₃也不同，所以S（3）=3×2=6，如圖（2），S（4）=3×2×2×2-S（3）=18.

（2）如圖（3），圓環(huán)分為n等份，對(duì)a₁有3種不同的種法，對(duì)a₂，a₃，…，a_n都有兩種不同的種法.但這樣的種法只能保證a₁與a_i（i=2，3，…，n-1）不同顏色，但不能保證a₁與a_n不同顏色.

于是一類(lèi)是a_n與a₁不同色的種法，這是符合要求的種法，記為S（n）另一類(lèi)是a_n與a₁同色的種法.這時(shí)可以把a(bǔ)_n與a₁看成一部分，這樣的種法相當(dāng)于對(duì)n-1部分符合要求的種法，記為S（n-1）.

∴S(n)+S（n-1）=3×2^n-1

∴S(n)-2ⁿ=［S(3)-2³］(-1)^n-3

∴S(n)-2ⁿ=(6-8)(-1)^n-3=-2·（-1）^n-3

∴S(n)=2ⁿ-2·(-1)^n-3

答：符合要求的不同種法為2ⁿ-2·（-1）^n-3種.