Question

設(shè)函數(shù)f(x)=x³+ax²+x(a∈R).

(1)當(dāng)x=2時(shí),f(x)取得極值,求a的值;

(2)若f(x)在(0,+∞)內(nèi)為增函數(shù),求a的取值范圍.

Answer 1

解:f′(x)=2x²+ax+1,

(1)由題意f′(2)=8+2a+1=0,解得a=.

(2)方程2x²+ax+1=0的判別式Δ=a²-8,

①當(dāng)Δ≤0,即-2≤a≤2時(shí),2x²+ax+1≥0,f′(x)≥0在(0,+∞)內(nèi)恒成立,此時(shí)f(x)為增函數(shù);

②當(dāng)Δ＞0,即a＜-2或a＞2時(shí),要使f(x)在(0,+∞)內(nèi)為增函數(shù),只需在(0,+∞)內(nèi)有2x²+ax+1≥0即可,設(shè)g(x)=2x²+ax+1,由得a＞0,所以a＞2.

由①②可知,若f(x)在(0,+∞)內(nèi)為增函數(shù),a的取值范圍是［-2,+∞).