Question

已知點A₁（-2，0），A₂（2，0），過點A₁的直線l₁與過點A₂的直線l₂相交于點M，設直線l₁斜率為k₁，直線l₂斜率為k₂，且k₁k₂=-

3

4

．
（1）求直線l₁與l₂的交點M的軌跡方程；
（2）已知F₂（1，0），設直線l：y=kx+m與（1）中的軌跡M交于P、Q兩點，直線F₂P、F₂Q的傾斜角分別為α、β，且α+β=π，求證：直線l過定點，并求該定點的坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設點M（x，y），由已知條件推導出k1•k2=

y

x+2

•

y

x-2

=-

3

4

，由此能求出點M的軌跡方程．
（2）聯(lián)立

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用韋達定理結(jié)合已知條件求出直線PQ的方程為y=k（x-4）．由此能證明直線PQ過定點（4，0）．

解答： （1）解：設點M（x，y），
∵點A₁（-2，0），A₂（2，0），
過點A₁的直線l₁與過點A₂的直線l₂相交于點M，
直線l₁斜率為k₁，直線l₂斜率為k₂，且k₁k₂=-

3

4

，
∴k1=

y

x+2

，k2=

y

x-2

，
由k1•k2=

y

x+2

•

y

x-2

=-

3

4

，整理得

x2

4

+

y2

3

=1
∵由題意點M不與A₁（-2，0），A₂（2，0）重合，
∴點A₁（-2，0），A₂（2，0）不在軌跡上，
∴點M的軌跡方程為

x2

4

+

y2

3

=1（x≠±2）．
（2）證明：由題意知，直線l的斜率存在且不為零，
聯(lián)立方程

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，消y，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

x1+x2= -8km 3+4k2 x1x2= 4m2-12 3+4k2

，
且kF1P=

kx1+m

x1-1

，kF1Q=

kx2+m

x2-1

，
由已知α+β=π，得kF1P+kF1Q=0，
∴

kx1+m

x1-1

+

kx2+m

x2-1

=0，
化簡，得2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0，
∴2k•

4m2-12

3+4k2

-

8mk(m-k)

3+4k2

-2m=0，
整理，得：m=-4k，
∴直線PQ的方程為y=k（x-4）．
∴直線PQ過定點，該定點坐標為（4，0）．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查直線過定點的證明，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．