Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-2x-3．
（1）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）在上是單調(diào)遞增函數(shù)？若存在，試求出a的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由已知有f′（x）=3x²+2ax-2，f'（1）=0，∴
（2）令f'（x）=3x²+2ax-2=0，∵△=4a²+24＞0，∴方程有兩個不等實(shí)根，分別記為x₁，x₂，又
所以在內(nèi)方程f'（x）=3x²+2ax-2=0不可能有兩個解
故要使得f（x）在上是單調(diào)遞增函數(shù)的充要條件是，解得
所以存在實(shí)數(shù)，使得f（x）在上是單調(diào)遞增函數(shù)
分析：解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在x=1時取得極小值，所以當(dāng)x=1時，導(dǎo)數(shù)等于0，即可求出a的值．
（2）先判斷函數(shù)f'（x）=3x²+2ax-2有兩個零點(diǎn)，且為異號，要使f（x）在上是單調(diào)遞增函數(shù)，則f'（x）≥0在恒成立，數(shù)形結(jié)合可知需，解不等式即可得出a的范圍
點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，解題時要牢記函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)的充要條件，避免丟解現(xiàn)象發(fā)生