Question

（本小題滿分12分）

如圖，與都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面平面，平面，

.

（1）求直線與平面所成的角的大小；

（2）求平面與平面所成的二面角的正弦值.

Answer 1

【解析】本題主要考查了考查立體圖形的空間感、線面角、二面角、空間向量、二面角平面角的判斷有關(guān)知識(shí)，同時(shí)也考查了空間想象能力和推理能力

解法一：（1）取CD中點(diǎn)O，連OB，OM，則OB⊥CD，OM⊥CD.

又平面平面,則MO⊥平面，所以MO∥AB，A、B、O、M共面.延長(zhǎng)AM、BO相交于E，則∠AEB就是AM與平面BCD所成的角.

OB=MO=，MO∥AB，則，，所以，故.

（2）CE是平面與平面的交線.

由（1）知，O是BE的中點(diǎn)，則BCED是菱形.

作BF⊥EC于F，連AF，則AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，設(shè)為.

因?yàn)椤?i>BCE=120°，所以∠BCF=60°.

，

，

所以，所求二面角的正弦值是.

解法二：取CD中點(diǎn)O，連OB，OM，則OB⊥CD，OM⊥CD，又平面平面,則MO⊥平面.

以O為原點(diǎn)，直線OC、BO、OM為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.

OB=OM=，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0，），B（0，-，0），A（0，-，2），

（1）設(shè)直線AM與平面BCD所成的角為.

因（0，，），平面的法向量為.則有，所以.

（2），.

設(shè)平面ACM的法向量為，由得.解得，，取.又平面BCD的法向量為，則

設(shè)所求二面角為，則.