Question

6．非零實數(shù)a、b滿足4a²-2ab+4b²-c=0（c＞0），當(dāng)|2a+b|取到最大值時，則$\frac{a}$的值為（　�。�

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 4a²-2ab+4b²-c=0（c＞0），化為$\frac{c}{4}$=${a}^{2}-\frac{1}{2}ab+^{2}$=$（a-\frac{4}）^{2}+\frac{15}{16}^{2}$，利用柯西不等式即可得出．

解答 解：4a²-2ab+4b²-c=0（c＞0），
化為$\frac{c}{4}$=${a}^{2}-\frac{1}{2}ab+^{2}$=$（a-\frac{4}）^{2}+\frac{15}{16}^{2}$，
由柯西不等式可得：$[（a-\frac{4}）^{2}+\frac{15}{16}^{2}]$$[{2}^{2}+（\frac{6}{\sqrt{15}}）^{2}]$≥$[2（a-\frac{4}）+\frac{\sqrt{15}}{4}b×\frac{6}{\sqrt{15}}]^{2}$=（2a+b）²，
當(dāng)|2a+b|取到最大值時，$\frac{a-\frac{4}}{2}$=$\frac{\frac{\sqrt{15}}{4}b}{\frac{6}{\sqrt{15}}}$，化為$\frac{a}=\frac{2}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查了柯西不等式的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．