Question

10．在四邊形ABCD中，若$\overline{AB}•\overline{BC}=\overline{BC}•\overline{CD}=\overline{CD}•\overline{DA}=\overline{DA}•\overline{AB}$，判斷四邊形ABCD的形狀．

Answer 1

分析 把給出的向量等式變形，可得$（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}）•\overrightarrow{BC}=0$，$（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}）•\overrightarrow{DA}=0$，從而得到AD∥BC．同理可得AB∥CD．再由$（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}）•\overrightarrow{BC}=0$，$\overrightarrow{AB}∥\overrightarrow{CD}$，得AB⊥BC，則四邊形ABCD為矩形．

解答 解：由$\overline{AB}•\overline{BC}=\overline{BC}•\overline{CD}=\overline{CD}•\overline{DA}=\overline{DA}•\overline{AB}$，得
$（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}）•\overrightarrow{BC}=0$，$（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}）•\overrightarrow{DA}=0$，
∴$\overrightarrow{BC}∥\overrightarrow{AD}$，即AD∥BC．
同理有AB∥CD，則四邊形ABCD為平行四邊形，
又$（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}）•\overrightarrow{BC}=0$，$\overrightarrow{AB}∥\overrightarrow{CD}$，
∴AB⊥BC，則四邊形ABCD為矩形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了平面向量的加減法，是中檔題．