Question

6．（1）已知a，b∈R，求證2（a²+b²）≥（a+b）²．
（2）已知x∈R，a=x²-1，b=2x+2，求證a，b中至少有一個(gè)不小于0．

Answer 1

分析 （1）直接利用分析法、綜合法的證明步驟證明即可；
（2）假設(shè)a＜0，b＜0，則a+b＜0，又a+b=x²-1+2x+2=x²+2x+1=（x+1）²≥0，這與假設(shè)所得結(jié)論矛盾，故假設(shè)不成立．

解答 證明：（1）證法1：要證2（a²+b²）≥（a+b）²，
只要證2a²+2b²≥a²+2ab+b²，
只要證a²+b²≥2ab，
而a²+b²≥2ab顯然成立，
所以2（a²+b²）≥（a+b）²成立．
證法2：因?yàn)?（a²+b²）-（a+b）²
=2a²+2b²-（a²+2ab+b²）
=a²+b²-2ab
=（a-b）²≥0，
所以2（a²+b²）≥（a+b）²．
（2）假設(shè)a，b都小于0，即a＜0，b＜0，
所以a+b＜0，
又a+b=x²-1+2x+2=x²+2x+1=（x+1）²≥0，
這與假設(shè)所得結(jié)論矛盾，故假設(shè)不成立．
所以a，b中至少有一個(gè)不小于0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分析法的證明方法，考查用反證法證明數(shù)學(xué)命題，推出矛盾是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力．