Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，P是動(dòng)點(diǎn)，且三角形的三邊所在直線的斜率滿足．

（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡的方程；

（Ⅱ）若Q 是軌跡上異于點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)，且，

直線與交于點(diǎn)M，問(wèn)：是否存在點(diǎn)P使得和的面積滿足？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（且）；（2）的坐標(biāo)為

【解析】：（Ⅰ）由和斜率公式可求得軌跡方程；（Ⅱ）假設(shè)存在，根據(jù)條件，進(jìn)行求解。

解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)為所求軌跡上的任意一點(diǎn)，則由得，，整理得軌跡的方程為（且）。   ………4分

（Ⅱ）方法一、

設(shè)，

由可知直線，則，

故，即，      ………6分

由三點(diǎn)共線可知，

與共線，

∴　，                  

由（Ⅰ）知，故，         ………8分

同理，由與共線，

∴　，即，

由（Ⅰ）知，故，

將，代入上式得，

整理得，

由得，                         ………10分

由，得到，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921003886014012/SYS201206192102289539734340_DA.files/image014.png">，所以，

由，得，∴的坐標(biāo)為．                 ………12分

方法二、設(shè)

由可知直線，則，

故，即，　　                           ………6分

∴直線OP方程為：   ①；　                            …………8分

直線QA的斜率為：，　　             

∴直線QA方程為：，即， ②  …10分

聯(lián)立①②，得，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為定值。

由，得到，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921003886014012/SYS201206192102289539734340_DA.files/image014.png">，所以，

由，得，∴的坐標(biāo)為．　　　　　　     ………12分

22【題文】已知函數(shù)，．

                        （Ⅰ）若函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

                        （Ⅱ）設(shè)直線為函數(shù)的圖象上一點(diǎn)處的切線．證明：在區(qū)間上存在唯一的，使得直線與曲線相切．

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為

【解析】：（Ⅰ）求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)可求得增區(qū)間，（Ⅱ）先寫出切線方程，證明唯一。

解：（Ⅰ） ，

．             ……………………2分

∵且，

∴，

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．   ……………………4分

   （Ⅱ）∵ ，∴，

∴ 切線的方程為，

     即，　�、�                         ……………………6分

設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，

∵，∴，∴．      ……………………8分

     ∴直線的方程為，

即，　�、�               ……………………9分

    由①②得 ，

∴．                                       …………………11分

     下證：在區(qū)間上存在且唯一：

由（Ⅰ）可知，在在區(qū)間上遞增．

 

又，，    ……………13分

    結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，說(shuō)明方程必在區(qū)間上有唯一的根，這個(gè)根就是所求的唯一．                                              

故結(jié)論成立．            ………………14分