Question

16．已知點(diǎn)A（-1，3），F(xiàn)是拋物線x²=4y的焦點(diǎn)，M是拋物線上任意一點(diǎn)，則|MF|+|MA|的最小值為4；點(diǎn)M到直線x-y-2=0的距離的最小值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)M在準(zhǔn)線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|MF|=|MD|進(jìn)而把問題轉(zhuǎn)化為求|MA|+|MD|取得最小，進(jìn)而可推斷出當(dāng)D，M，A三點(diǎn)共線時(shí)|MA|+|MD|最小，答案可得，利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合配方法求出點(diǎn)M到直線x-y-2=0的距離的最小值

解答 解：設(shè)點(diǎn)M在準(zhǔn)線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|MF|=|MD|，
∴要求|MA|+|MF|取得最小值，即求|MA|+|MD|取得最小，
當(dāng)D，M，A三點(diǎn)共線時(shí)|MA|+|MD|最小，為3-（-1）=4．
點(diǎn)M到直線x-y-2=0的距離為$\frac{|x-y-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\frac{1}{4}（x-2）^{2}+1|}{\sqrt{2}}$，∴x=2時(shí)，取得最小值$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
故答案為：4；$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查點(diǎn)到直線的距離公式，判斷當(dāng)D，M，A三點(diǎn)共線時(shí)|MA|+|MD|最小是解題的關(guān)鍵．