Question

已知數(shù)集A={a₁，a₂，…，a_n}(1≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥2)具有性質(zhì)P：對(duì)任意的i，j(1≤i≤j≤n)，a_ia_j與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A，
(Ⅰ)分別判斷數(shù)集{1，3，4}與{1，2，3，6}是否具有性質(zhì)P，并說明理由；
(Ⅱ)證明：a₁=1，且；
(Ⅲ)證明：當(dāng)n=5時(shí)，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅成等比數(shù)列。

Answer 1

(Ⅰ)解：由于3×4與均不屬于數(shù)集{1，3，4}，所以該數(shù)集不具有性質(zhì)P．
由于1×2，1×3，1×6，2×3，都屬于數(shù)集{1，2，3，6}，所以該數(shù)集具有性質(zhì)P．
(Ⅱ)證明：因?yàn)锳={a₁，a₂，…，a_n}具有性質(zhì)P，所以a_na_n與中至少有一個(gè)屬于A．
由于1≤a₁＜a₂＜…＜a_n，所以a_na_n＞a_n，故a_na_nA，
從而，故a₁=1；
因?yàn)?=a₁＜a₂＜…＜a_n，所以a_ka_n＞a_n，故a_ka_nA(k=2，3，…，n)．
由A具有性質(zhì)P可知，
又因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110908/201109081326441711490.gif">，
所以，
從而，
故。
(Ⅲ)證明：由(Ⅱ)知，當(dāng)n=5時(shí)，有，即，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110908/201109081326443121183.gif">，
所以，故，
由A具有性質(zhì)P可知，
由，得，且，
所以，
故，
即是首項(xiàng)為1，公比為a²的等比數(shù)列。