Question

已知直線l:y=tanα(x+2)交橢圓x²+9y²=9于A、B兩點(diǎn)，若α為l的傾斜角，且|AB|的長不小于短軸的長，求α的取值范圍.

Answer 1

剖析：確定某一變量的取值范圍，應(yīng)設(shè)法建立關(guān)于這一變量的不等式，題設(shè)中已經(jīng)明確給定弦長≥2b,最后可歸結(jié)為計(jì)算弦長求解不等式的問題.

解：將l方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y,得(1+9tan²α)x²+36tan²α·x+72tan²α-9=0,

    ∴|AB|=|x₂-x₁|

    =·

    =.

    由|AB|≥2,得tan²α≤,

    ∴-≤tanα≤.

    ∴α的取值范圍是［0,］∪［,π］.

講評：考查直線與橢圓相交所得弦長的范圍，對于弦長公式一定要能熟練掌握、靈活運(yùn)用.本題由于l的方程由tanα給出，所以可以認(rèn)定α≠,否則涉及弦長計(jì)算時(shí)，還應(yīng)討論α=時(shí)的情況.