Question

（2012•綿陽二模）已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=

1

2

，a_n+b_n=1，b_n+1=

bn

1- a 2 n

，則b₂₀₁₁=（　�。�

• A．

  2011

  2012

• B．

  2012

  2011

• C．

  2013

  2014

• D．

  2014

  2013

Answer 1

分析：由a_n+b_n=1，a1=

1

2

可求b1=

1

2

，由b_n+1=

bn

1- a 2 n

=

bn

1-(1-bn)2

=

1

2-bn

，把n=1，2，3分別代入可求b₂，b₃，b₄，根據(jù)規(guī)律猜想通項(xiàng)，然后用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可

解答：解：∵a_n+b_n=1，a1=

1

2

∴b1=

1

2

∴b_n+1=

bn

1- a 2 n

=

bn

1-(1-bn)2

=

1

2-bn

∴b2=

1

2- 1 2

=

2

3

；b3=

1

2- 2 3

=

3

4

；b4=

1

2- 3 4

=

4

5

猜想：bn=

n

n+1

下用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，b1=

1

1+1

=

1

2

適合
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)滿足條件，即bk=

k

k+1

當(dāng)n=k+1時(shí)，bk+1=

1

2-bk

=

1

2- k k+1

=

k+1

k+2

綜上可得，對于任意正整數(shù)n都成立
∴b2011=

2011

2012

點(diǎn)評：本題主要考察了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)前幾項(xiàng)的規(guī)律歸納出數(shù)列的通項(xiàng)及數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用