Question

函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的圖象關(guān)于直線x=

π

3

對(duì)稱，它的最小正周期為π．則函數(shù)y=f（x）圖象上離坐標(biāo)原點(diǎn)O最近的對(duì)稱中心是

(

π

12

，0)

．

Answer 1

分析：先根據(jù)函數(shù)的最小正周期求出ω的值，因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸為x=

π

3

，所以在對(duì)稱軸左右兩側(cè)取關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)x的值，則其函數(shù)值相等，就可求出∅的值，得到函數(shù)的解析式．再根據(jù)基本正弦函數(shù)的對(duì)稱中心求出此函數(shù)的對(duì)稱中心即可．

解答：解：函數(shù)f（x）=Asin（ωx+∅）的周期T=

2π

w

=π，∴ω=2
∵函數(shù)f（x）=Asin（2x+∅）的圖象關(guān)于直線x=

π

3

對(duì)稱，∴f（0）=f（

2π

3

）
即Asin∅=Asin（

4π

3

+∅），化簡(jiǎn)得，sin∅=-

3

2

cos∅-

1

2

sinφ

3

2

sin∅=-

3

2

cos∅，tan∅=-

3

3

，
又∵|∅|＜

π

2

，∴∅=-

π

6

，∴f（x）=Asin（2x-

π

6

）
令2x-

π

6

=kπ，k∈Z，解得，x=

π

12

+

kπ

2

，k∈Z，
∴函數(shù)y=f（x）圖象的對(duì)稱中心是（

π

12

+

kπ

2

，0），k∈Z
其中，離坐標(biāo)原點(diǎn)O最近的對(duì)稱中心是（

π

12

，0）
故答案為（

π

12

，0）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查y=Asin（ωx+∅）的圖象與性質(zhì)，解題時(shí)借助基本的正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)．