Question

已知△ABC的外接圓半徑R為6，面積為S，a、b、c分別是角A、B、C的對邊設．
（I）求sinA的值；
（II）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用三角形的面積公式，由b，c及sinA表示出三角形的面積S，與已知的S相等，利用完全平方公式化簡后，由bc不為0，等號兩邊同時除以bc，得到sinA和cosA的關系式，將此等式兩邊平方后，再利用同角三角函數(shù)間的基本關系化為關于sinA的方程，根據(jù)sinA不為0，求出方程的解即可求出sinA的值；
（II）根據(jù)正弦定理化簡，把R的值代入即可得到b+c的值，然后把第一問求出的sinA的值代入S=bcsinA中，根據(jù)基本不等式bc≤得到當且僅當b=c時，面積的最大值，但是由b=c，根據(jù)正弦定理得到sinB=sinC，再由可得sinB與sinC的值，進而利用誘導公式求出sinA的值不等于第一問求出的sinA的值，矛盾，從而得到面積不能達到此時的最大值，由R和sinA的值，利用正弦定理求出a的值，再由b+c的值，利用余弦定理表示出a²，變形后，把a與b+c的值代入求出bc的值，把sinA和求出bc的值代入S=bcsinA，即可求出面積的最大值．
解答：解：（I）由S=bcsinA，又S=a²-（b-c）²，
可得：bcsinA=a²-（b²-2bc+c²）=2bc-（b²+c²-a²）=2bc-2bccosA，又bc≠0，
變形得：，即cosA=1-sinA，
兩邊平方得：cos²A=（1-sinA）²，又sin²A+cos²A=1，
可得1-sin²A=1-sinA+sin²A，即sin²A-sinA=0，
又sinA≠0，
∴；
（II）由，
根據(jù)正弦定理==2R，可得，又∵R=6，∴b+c=16，
∴，當且僅當，
此時，
由a=2RsinA=2×6×=，且b+c=16，
根據(jù)余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA得：bc=，
此時，
則△ABC面積的最大值為．
點評：本題考查了三角函數(shù)的恒等變形，正弦定理、余弦定理的應用，三角形的面積公式以及基本不等式的應用，考查計算能力，邏輯推理能力．本題的第二問在利用基本不等式得到b=c時，面積達到最大，經(jīng)過驗證發(fā)現(xiàn)，b=c是不成立的，學生做題時應注意這點，不要錯誤認為此時面積最大．