Question

求證：e^x≥x+1．

Answer 1

證明：（1）當x=0時，e^x=1，x+1=1，命題成立；
（2）當x＞0時，令f（x）=e^x-x-1，
則f′（x）=e^x-1＞0∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)
∵x＞0，∴f（x）＞f（0）=e⁰-0-1=0即e^x-x-1＞0∴e^x＞x+1；
（3）當x＜0時，令f（x）=e^x-x-1，
則f′（x）=e^x-1＜0∴f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)
∵x＜0，∴f（x）＞f（0）=e⁰-0-1=0即e^x-x-1＞0∴e^x＞x+1
綜合以上情況，e^x≥x+1．
分析：對x分3種情況進行分析，x=0代入顯然成立；x＞0和x＜0時令f（x）=e^x-x-1，根據(jù)其單調(diào)性進行證明．
點評：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問題．指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不僅僅會根據(jù)其圖象還要會由導數(shù)的正負值來判斷，當導數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．