Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點，EF∥BC，AE=x，G是BC的中點，沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如圖2）。

（Ⅰ）當(dāng)x=2時，求證：BD⊥EG；
（Ⅱ）若以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為f(x)，求f(x)的最大值；
（Ⅲ）當(dāng)f(x)取得最大值時，求二面角D-BF-C的余弦值。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵平面AEFD⊥平面EBCF，又EF∥AD，∠AEF=， ∴AE⊥EF，∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE， 又BE⊥EF，故可如圖建立空間坐標(biāo)系E-xyz， ∵EA=2，∴EB=2， 又∵G為BC的中點，BC=4， ∴BG=2，則A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0）， D（0，2，2），E（0，0，0）， （-2，2，2），（2，2，0）， （-2，2，2）?（2，2，0）=0， ∴BD⊥EG。
（Ⅱ）∵AD∥面BFC， 所以 ， 即x=2時，f（x）有最大值。
（Ⅲ）設(shè)平面DBF的法向量為， ∵AE=2， B（2，0，0），D（0，2，2）， F（0，3，0）， ∴（-2，2，2）， 則， 即，， 取x=3，y=2，z=1，∴， ∵AE⊥面BCF，∴面BCF一個法向量為， 則， 由于所求二面角D-BF-C的平面角為鈍角， 所以此二面角的余弦值為-。