Question

如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，AB=BC=1，動點P、Q分別在線段C₁D、AC上，則線段PQ長度的最小值時（　　）

• A、

  2

  3

• B、

  3

  3

• C、

  2

  3

• D、

  5

  3

Answer 1

考點：空間向量的夾角與距離求解公式

專題：空間向量及應用

分析：設

DP

=λ

DC1

，

AQ

=μ

AC

，（λ，μ∈[0，1]）．可得

DP

=（0，λ，2λ），

DQ

=

DA

+μ(

DC

-

DA

)=（1-μ，μ，0）．利用向量模的計算公式可得|

PQ

|=|（1-μ，μ-λ，-2λ）|=

(1-μ)2+(μ-λ)2+4λ2

，再利用實數(shù)的性質、二次函數(shù)的單調性即可得出．

解答： 解：設

DP

=λ

DC1

，

AQ

=μ

AC

，（λ，μ∈[0，1]）．
∴

DP

=λ(0，1，2)=（0，λ，2λ），

DQ

=

DA

+μ(

DC

-

DA

)=（1，0，0）+μ（-1，1，0）=（1-μ，μ，0）．
∴|

PQ

|=|（1-μ，μ-λ，-2λ）|=

(1-μ)2+(μ-λ)2+4λ2

=

5(λ- μ 5 )2+ 9 5 (μ- 5 9 )2+ 4 9

≥

4 9

=

2

3

，當且僅當λ=

μ

5

，μ=

5

9

，即λ=

1

9

，μ=

5

9

時取等號．
∴線段PQ長度的最小值為

2

3

．
故選：C．

點評：本題考查了向量共線定理、坐標運算、實數(shù)的性質、二次函數(shù)的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．