Question

9．如圖，已知OPQ是半徑為1，圓心角為$\frac{π}{3}$的扇形，C是扇形弧上的動點，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，記∠COP=α，
（1）求矩形ABCD的面積y關(guān)于角α的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（α）；
（2）求y=f（α）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）問當角α取何值時，矩形ABCD的面積最大？并求出這個最大面積．

Answer 1

分析 （1）先用所給的角表示AB，BC，即可將矩形的面積表示出來，建立三角函數(shù)模型；
（2）由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2α+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，可得-$\frac{π}{3}$+kπ≤α≤$\frac{π}{6}$+kπ，結(jié)合0＜α＜$\frac{π}{3}$，可得y=f（α）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）根據(jù)所建立的模型利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值．

解答 解：（1）如圖，在Rt△OBC中，OB=cosα，BC=sinα，
在Rt△OAD中，$\frac{DA}{OA}$=tan60°=$\sqrt{3}$，所以O(shè)A=$\frac{\sqrt{3}}{3}$DA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα．
所以AB=OB-OA=cosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα．
設(shè)矩形ABCD的面積為S，則S=AB•BC=（cosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinα）sinα=sinαcosα-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin²α
=$\frac{1}{2}$sin2α+$\frac{\sqrt{3}}{6}$cos2α-$\frac{\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2α+$\frac{1}{2}$cos2α）-$\frac{\sqrt{3}}{6}$
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sin（2α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{6}$（0＜α＜$\frac{π}{3}$）．
（2）由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2α+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，可得-$\frac{π}{3}$+kπ≤α≤$\frac{π}{6}$+kπ，
∵0＜α＜$\frac{π}{3}$，
∴y=f（α）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，$\frac{π}{6}$）；
（3）由于0＜α＜$\frac{π}{3}$，所以當2α+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即α=$\frac{π}{6}$時，S_最大=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查在實際問題中建立三角函數(shù)模型，求解問題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形建立起三角模型，將三角模型用所學的恒等式變換公式進行化簡．