Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-ax+1，x≥a\\{4^x}-4×{2^{x-a}}，x＜a.\end{array}\right.$
（1）若x＜a時，f（x）＜1恒成立，求a的取值范圍；
（2）若a≥-4時，函數(shù)f（x）在實數(shù)集R上有最小值，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當x＜a時，f（x）=4^x-4×2^x-a，∴令t=2^x，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得a的取值范圍；
（2）當x≥a時，f（x）=x²-ax+1，即f（x）=（x-$\frac{a}{2}$）²+1-$\frac{a^2}{4}$，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得此時函數(shù)有最小值；
當x＜a時，f（x）=4^x-42^x-a，令t=2^x，t∈（0，2^a），結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：當$\frac{2}{2^a}$≥2^a，即a≤$\frac{1}{2}$時，函數(shù)無最小值，
綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：（1）∵當x＜a時，f（x）=4^x-4×2^x-a，
∴令t=2^x，則有0＜t＜2^a，
當x＜a時，f（x）＜1恒成立，轉(zhuǎn)化為t²-4×$\frac{t}{{2}^{a}}$-1＜0在t∈（0，2^a）上恒成立，
設(shè)g（x）=t²-4•$\frac{t}{2^a}$-1，根
據(jù)圖象可知$\left\{\begin{array}{l}g（0）≤0\\ g（{2^a}）≤0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-1≤0\\{2^{2a}}-4•\frac{2^a}{2^a}-1≤0\end{array}\right.$，
解得：a≤log₄5；
（2）當x≥a時，f（x）=x²-ax+1，即f（x）=（x-$\frac{a}{2}$）²+1-$\frac{a^2}{4}$；
當$\frac{a}{2}$≤a時，即a≥0時，f（x）_min=f（a）=1；
當$\frac{a}{2}$＞a時，即-4≤a＜0，f（x）_min=f（$\frac{a}{2}$）=1-$\frac{{a}^{2}}{4}$；
當x＜a時，f（x）=4^x-42^x-a，令t=2^x，t∈（0，2^a），
則h（t）=t²-$\frac{4}{2^a}$t=${（{t-\frac{2}{2^a}}）^2}$-$\frac{4}{4^a}$；
當$\frac{2}{2^a}$＜2^a，即a＞$\frac{1}{2}$時，h（t）_min=h$（{\frac{2}{2^a}}）$=-$\frac{4}{4^a}$；
當$\frac{2}{2^a}$≥2^a，即a≤$\frac{1}{2}$時，h（t）在開區(qū)間t∈（0，2^a）上單調(diào)遞減，h（t）∈（4^a-4，0），無最小值，
綜上，x≥a與x＜a，所以當a＞$\frac{1}{2}$時，1＞-$\frac{4}{4^a}$，函數(shù)f（x）_min=-$\frac{4}{4^a}$；
當0≤a≤$\frac{1}{2}$時，4^a-4＜0＜1，函數(shù)f（x）無最小值；
當-4≤a＜0時，4^a-4＜-3≤1-$\frac{a^2}{4}$，函數(shù)f（x）無最小值．
綜上所述，當a＞$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）有最小值．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)恒成立問題，函數(shù)的最值，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分段函數(shù)的應(yīng)用，綜合性強，轉(zhuǎn)化困難，計算量大，屬于難題．