Question

8．已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA₁，F(xiàn)為棱BB₁的中點(diǎn)，M為線段AC₁的中點(diǎn)．
（1）求證：直線MF∥平面ABCD；
（2）求證：直線MF⊥面ACC₁A₁；
（3）求平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）延長(zhǎng)C₁F，交CB的延長(zhǎng)線于N，連結(jié)AN，由中位線定理得到MF∥AN，由此能證明MF∥平面ABCD．
（2）連結(jié)BD，由直四棱柱性質(zhì)得A₁A⊥平面ABCD，從而AA₁⊥BD，由菱形性質(zhì)得AC⊥BD，由此能證明直線MF⊥面ACC₁A₁．
（3）由已知條件推導(dǎo)出∠C₁AC就是平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的平面角，由此能求出平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的大�。�

解答 （Ⅰ）證明：延長(zhǎng)C₁F，交CB的延長(zhǎng)線于N，連結(jié)AN，
∵F是BB₁的中點(diǎn)，∴F為C₁N的中點(diǎn)，B為CN的中點(diǎn)
又M是線段AC₁的中點(diǎn)，∴MF∥AN．
∵M(jìn)F?平面ABCD，AN?平面ABCD，
∴MF∥平面ABCD．
（2）證明：連結(jié)BD，由直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，
可知：A₁A⊥平面ABCD，
又∵BD?平面ABCD，∴AA₁⊥BD，
∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，
又∵AC∩A₁A?平面ACC₁A₁，∴BD⊥平面ACC₁A₁，
在四邊形DANB中，DA∥BN，且DA=BN，∴四邊形DANB為平行四邊形，
∴NA∥BD，∴NA⊥平面ACC₁A₁，
又∵M(jìn)F∥AN，∴直線MF⊥面ACC₁A₁．
（3）解：由（2）知BD⊥平面ACC₁A₁，又AC₁?平面ACC₁A₁，
∴BD⊥AC₁，∵BD∥NA，∴AC₁⊥NA．
又由BD⊥AC，知NA⊥AC．
∴∠C₁AC就是平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的平面角．
在Rt△C₁AC中，tan∠C₁AC=$\frac{{C}_{1}C}{CA}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，故∠C₁AC=30°．
∴平面AFC₁與平面ABCD所成二面角的大小為30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．