Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E為PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求點(diǎn)C到平面PBD的距離；
（Ⅱ）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N，使NE⊥面PAC，并求出N點(diǎn)到AB和AP的距離．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）以AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量，，設(shè)平面PBD的一個(gè)法向量為，根據(jù)可求出，最后根據(jù)點(diǎn)C到平面PBD的距離可求出所求；
（Ⅱ）由于N點(diǎn)在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x，O，z），根據(jù)NE⊥面PAC可得，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，從而N點(diǎn)到AB、AP的距離．
解答：解：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)為A（0，0，0）、B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0，，1），從而．…（2分）
設(shè)平面PBD的一個(gè)法向量為，則
即
令z=1，得=（，2，1）
所以點(diǎn)C到平面PBD的距離…（6分）
（Ⅱ）由于N點(diǎn)在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x，O，z），則，
由NE⊥面PAC可得，即
∴x=，z=1 …10 分
即N點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而N點(diǎn)到AB、AP的距離分別為1， …（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了點(diǎn)到面的距離，以及利用空間向量的方法解立體幾何問(wèn)題，同時(shí)考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．