Question

12．已知等比數(shù)列{a_n}的公比q＞1，S_n是它的前n項(xiàng)之和，T_n是它的前n項(xiàng)倒數(shù)之和，并且a₁₀²=a₁₅，求滿足不等式S_n＞T_n的最小自然數(shù)．

Answer 1

分析 設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a，公比為q，且q＞1，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得aq⁴=1，運(yùn)用求和公式，化簡(jiǎn)S_n，T_n，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，解不等式即可得到n的最小值．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a，公比為q，且q＞1，
由a₁₀²=a₁₅，可得a²q¹⁸=aq¹⁴，化簡(jiǎn)得aq⁴=1，
S_n=a₁+a₂+…+a_n=$\frac{a（1-{q}^{n}）}{1-q}$，
T_n=$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{\frac{1}{a}（1-\frac{1}{{q}^{n}}）}{1-\frac{1}{q}}$=$\frac{q（{q}^{n}-1）}{a{q}^{n}（q-1）}$，
由S_n＞T_n，可得a＞$\frac{q}{a{q}^{n}}$，
即有a²＞q^1-n，
即為q^-8＞q^1-n，
由q＞1可得-8＞1-n，
即有n＞9，
則滿足S_n＞T_n的最小正整數(shù)n是10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式的運(yùn)用，同時(shí)考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用和不等式的解法，屬于中檔題．