Question

【題目】（A）已知數(shù)列滿足，其中， .

（1）求， ， ，并猜想的表達(dá)式（不必寫出證明過程）；

（2）由（1）寫出數(shù)列的前項(xiàng)和，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

（B）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足， .

（1）猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；

（2）設(shè)， ，求的最大值.

Answer 1

【答案】（A）（1）詳見解析;（2）詳見解析.（B）（1）詳見解析;（2）.

【解析】試題分析:（A）（1）利用的遞推關(guān)系得到，從而求得，由此猜想.（2）由于是等比數(shù)列，利用前項(xiàng)和公式可得的表達(dá)式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程證明結(jié)論. （B）（1）利用，和的遞推關(guān)系，可求得的值，由此猜想.然后利用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程證明結(jié)論. （2）利用，可求得的通項(xiàng)公式，代入并化簡(jiǎn)，利用函數(shù)的單調(diào)性可求得其最大值.

試題解析：

（A）解（1）由題意， ， ， ，

則， ， ，

猜想得： .

（2）由（1），數(shù)列是以4為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，

則有，

證明：當(dāng)時(shí)， 成立，

假設(shè)當(dāng)時(shí)，有，

則當(dāng)時(shí)， ，

綜上有成立.

（B）（1），

由，得，

由，得，

猜想得： ，

證明：當(dāng)時(shí)， 成立，

假設(shè)當(dāng)時(shí)，有，

則當(dāng)時(shí)， ， .

綜上， 成立.

（2）由（1），時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)， 滿足止式，

所以，則， ，

設(shè)，則有在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，因?yàn)?/span>，且，所以當(dāng)或時(shí)， 有最大值.