Question

某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測，服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克）與時(shí)間t(小時(shí)）之間近似滿足如下圖所示的曲線.

（1）寫出服藥后,y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(t).

（2）據(jù)進(jìn)一步測定：每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時(shí)，治療疾病有效.

①求服藥一次治療疾病有效的時(shí)間？

②當(dāng)t=5時(shí)，第二次服藥，問t∈［5，5］時(shí)，藥效是否連續(xù)？

Answer 1

解：（1）當(dāng)0≤t≤1時(shí)，y=4t.

當(dāng)t≥1時(shí)，y=()^t-a,此時(shí)m(1,4)在曲線上，

∴4=()^1-a∴a=3.

∴y=()^t-3.

所以y=f(t)=

（2）①∵f(t)≥0.25即

解得，

∴≤t≤5.

∴服藥一次治療疾病有效的時(shí)間為5-=4小時(shí).

②設(shè)t∈［5,5］,5小時(shí)第二次服藥后，血液中含藥量g(t)為：第二次產(chǎn)生的含藥量4(t-5)毫克以及第一次的剩余量()^t-3毫克，即g(t)=4(t-5)+()^t-3,只要證明，當(dāng)t∈［5,5］時(shí)，g(t)≥0.25即可.

∵g′(t)=4+()^t-3ln=4-()^t-3ln2，

∴g′(t)在R上是增函數(shù).

∴g′(t)在［5,5］上有g(shù)′(t)≥g′(5)=4-()²ln2＞0.

∴g(t)在［5,5］上是增函數(shù)，故g(t)≥g(5)=0.25.

∴當(dāng)t=5時(shí)，第二次服藥，t∈［5,5］時(shí)，藥效連續(xù).