Question

【題目】已知函數(shù) ．

（1）若，求在處的切線方程；

（2）若對(duì)于任意的正數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)的值；

（3）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）切線方程為（2）（3）

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得切線方程；

（2）對(duì)分類討論，簡(jiǎn)化不等式，即可得到實(shí)數(shù)的值；

（3）函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于存在兩個(gè)不相等的零點(diǎn)．設(shè)，研究函數(shù)的單調(diào)性與極值即可.

（1）因?yàn)?/span> ，所以當(dāng)時(shí)，，

則，

當(dāng)時(shí)，，

所以在處的切線方程為；

（2）因?yàn)閷?duì)于任意的正數(shù)，恒成立，

所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，；

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，恒成立，所以；

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，恒成立，所以，

綜上可知，對(duì)于任意的正數(shù)，恒成立，．

（3）因?yàn)楹瘮?shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，

所以存在兩個(gè)不相等的零點(diǎn)．

設(shè)，則．

當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，至多一個(gè)零點(diǎn)．

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>時(shí)，，單調(diào)遞減，

時(shí)，，單調(diào)遞增，

所以時(shí)，．

因?yàn)?/span>存在兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，所以，解得．

因?yàn)?/span>，所以．

因?yàn)?/span>，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn)．

因?yàn)?/span>，所以．又因?yàn)?/span>，

設(shè)，則，因?yàn)?/span>，

所以單調(diào)遞減，所以，

所以，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn)．

綜上可知：．