Question

11．（1）已知矩陣$M=[{\begin{array}{l}2&a\\ b&1\end{array}}]$，其中a，b均為實(shí)數(shù)，若點(diǎn)A（3，-1）在矩陣M的變換作用下得到點(diǎn)B（3，5），求矩陣M的特征值．
（2）在極坐標(biāo)系中，設(shè)直線$θ=\frac{π}{3}$與曲線ρ²-10ρcosθ+4=0相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB中點(diǎn)的極坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$[\begin{array}{l}{2}&{a}\\&{1}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{3}\\{-1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{3}\\{5}\end{array}]$，化為$\left\{\begin{array}{l}{6-a=3}\\{b-1=5}\end{array}\right.$，即可解得a，b．設(shè)矩陣M的特征值為λ，利用f（λ）=$|\begin{array}{l}{2-λ}&{3}\\{6}&{1-λ}\end{array}|$=0，解出即可．
（2）直線$θ=\frac{π}{3}$化為直角坐標(biāo)方程：$y=\sqrt{3}x$，利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.$即可把曲線ρ²-10ρcosθ+4=0化為直角坐標(biāo)方程，把直線y=$\sqrt{3}$x代入上述方程可得：2x²-5x+2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB中點(diǎn)的M（x₀，y₀）．利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：$[\begin{array}{l}{2}&{a}\\&{1}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{3}\\{-1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{3}\\{5}\end{array}]$，∴$\left\{\begin{array}{l}{6-a=3}\\{b-1=5}\end{array}\right.$，解得a=3，b=6．
∴M=$[\begin{array}{l}{2}&{3}\\{6}&{1}\end{array}]$，
設(shè)矩陣M的特征值為λ，
則f（λ）=$|\begin{array}{l}{2-λ}&{3}\\{6}&{1-λ}\end{array}|$=0，化為（2-λ）（1-λ）-18=0，
化為λ²-3λ-16=0，
解得λ=$\frac{3±\sqrt{73}}{2}$．
（2）直線$θ=\frac{π}{3}$化為直角坐標(biāo)方程：$y=\sqrt{3}x$，
曲線ρ²-10ρcosθ+4=0化為直角坐標(biāo)方程：x²+y²-10x+4=0，
把直線y=$\sqrt{3}$x代入上述方程可得：2x²-5x+2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB中點(diǎn)的M（x₀，y₀）．
∴x₁+x₂=$\frac{5}{2}$，
∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{5}{4}$，y₀=$\sqrt{3}{x}_{0}$=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$．
∴線段AB中點(diǎn)的直角坐標(biāo)$（\frac{5}{4}，\frac{5\sqrt{3}}{4}）$，
∴$ρ=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，tanθ=$\sqrt{3}$，可得θ=$\frac{π}{3}$，
因此極坐標(biāo)為$（\frac{5}{2}，\frac{π}{3}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、一元二次的根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、矩陣的特征值及其變換，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．