Question

雙曲線x2-

y2

3

=1的左右兩支上各有一點A，B，點B在直線x=

1

2

上的射影是點B′，若直線AB過右焦點，則直線AB′必過點（　�。�

• A、（1，0）
• B、（

  5

  4

  ，0）
• C、（

  3

  2

  ，0）
• D、（

  7

  4

  ，0）

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：雙曲線x2-

y2

3

=1的右焦點為（2，0），設(shè)AB：y=k（x-2），代入雙曲線x2-

y2

3

=1，得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，由此推導(dǎo)出直線AB′的方程，從而能求出直線AB'過x軸定點．

解答： 解：雙曲線x2-

y2

3

=1的右焦點為（2，0），
設(shè)AB：y=k（x-2），
代入雙曲線x2-

y2

3

=1，得
3x²-k²（x²-4x+4）=3，
（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，
x_1，2=

-2k2±3 k2+1

3-k2

，
設(shè)A（x₁，k（x₁-2）），B（x₂，k（x₂-2）），則B′（

1

2

，k（x₂-2）），
AB′的斜率=

k(x1-x2)

x1- 1 2

，k′=

y1-y2

x1- 1 2

=

4k

k2+1 +2

，
∴直線AB′的方程為：y-3k•

k2+1 -2

3-k2

=（x-

1

2

）•

4k

k2+1 +2

．
令y=0，解得x=

5

4

．
∴直線AB'過x軸定點（

5

4

，0）．
故選：B．

點評：本題考查直線過x軸上的定點坐標的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意直線與雙曲線的位置關(guān)系的靈活運用．