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已知函數(shù)g(x)=px-
p
x
-2lnx
（1）g（x）在其定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，求p的取值范圍；
（2）求證：lnx≤x-1（x＞0）
（3）求證：
ln2
22
+
ln3
32
+…+
lnn
n2
＜
1
2
[(n-1)-(
1
22
+
1
32
+…
1
n2
)]（n∈N*，n≥2）
（1）求導函數(shù)，可得g′(x)=
px2-2x+p
x2
（x＞0）
∵g（x）在其定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，
∴
p＞0
△=4-4p2≤0
或
p＜0
△=4-4p2≤0
或p=0
∴p≤-1或p≥1或p=0--------------------------------（4分）
（2）證明：設k（x）=lnx-x+1，則k′(x)=
1
x
-1=
1-x
x
（x＞0）
∴函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當x=1時，k（x）取極大值，
∴k（x）≤k（1）=0，即f（x）≤x-1（x＞0）-------------------------------（8分）
（3）證明：由（2）知，lnx≤x-1，又x＞0，有
lnx
x
≤
x-1
x
=1-
1
x
，
令x=n2得
ln(n2)
n2
=
2lnn
n2
＜1-
1
n2
，即
lnn
n2
＜
1
2
(1-
1
n2
)，
∴
ln2
22
+
ln3
32
+…+
lnn
n2
＜
1
2
[(1-
1
22
)+(1-
1
32
)+…+(1-
1
n2
)]
=
1
2
[(n-1)-(
1
22
+
1
32
+…
1
n2
)]--------（12分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)g(x)=px-
p
x
-2lnx
（1）g（x）在其定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，求p的取值范圍；
（2）求證：lnx≤x-1（x＞0）
（3）求證：
ln2
22
+
ln3
32
+…+
lnn
n2
＜
1
2
[(n-1)-(
1
22
+
1
32
+…
1
n2
)]（n∈N*，n≥2）

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試、數(shù)學(江蘇卷) 題型：044

設f(x)使定義在區(qū)間(1，＋∞)上的函數(shù)，其導函數(shù)為．如果存在實數(shù)a和函數(shù)h(x)，其中h(x)對任意的x∈(1，＋∞)都有h(x)＞0，使得(x)＝h(x)(x2－ax＋1)，則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(a)．

(1)設函數(shù)f(x)＝h(x)＋(x＞1)，其中b為實數(shù)

①求證：函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(b)

②求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間

(2)已知函數(shù)g(x)具有性質(zhì)P(2)，給定x1，x2∈(1，＋∞)，x1＜x2，設m為實數(shù)，α＝mx1＋(1－m)x2，β＝(1－m)x1＋mx2，且α＞1，β＞1，若|g(α)－g(β)|＜|g(x1)－g(x2)|，求m的取值范圍

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科目：高中數(shù)學 來源：廣東省梅縣東山中學2012屆高三上學期期中考試數(shù)學文科試題 題型：044

設f(x)是定義在區(qū)間(1，＋∞)上的函數(shù)，其導函數(shù)為(x)．如果存在實數(shù)a和函數(shù)h(x)，其中h(x)對任意的x∈(1，＋∞)都有h(x)＞0，使得(x)＝h(x)(x2－ax＋1)，則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(a)．

(1)設函數(shù)f(x)＝lnx＋(x＞1)，其中b為實數(shù)

(ⅰ)求證：函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(b)

(ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知函數(shù)g(x)具有性質(zhì)P(2)，給定x1，x2∈(1，＋∞)，x1＜x2，設m為實數(shù)，α＝mx1＋(1－m)x2，β＝(1－m)x1＋mx2，且α＞1，β＞1，若|g(α)－g(β)|＜|g(x1)－g(x2)|，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知x>，函數(shù)f(x)＝x2，h(x)＝2elnx(e為自然常數(shù))．

(1)求證：f(x)≥h(x)；

(2)若f(x)≥h(x)且g(x)≤h(x)恒成立，則稱函數(shù)h(x)的圖像為函數(shù)f(x)，g(x)的“邊界”．已知函數(shù)g(x)＝－4x2＋px＋q(p，q∈R)，試判斷“函數(shù)f(x)，g(x)以函數(shù)h(x)的圖像為邊界”和“函數(shù)f(x)，g(x)的圖像有且僅有一個公共點”這兩個條件能否同時成立？若能同時成立，請求出實數(shù)p、q的值；若不能同時成立，請說明理由．

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同步練習冊答案