Question

在周長為定值的△ABC中，已知，動點C的運動軌跡為曲線G，且當動點C運動時，cosC有最小值。
（1）以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標系，求曲線G的方程；
（2）過點（m，0）作圓x²+y²=1的切線l交曲線G于M，N兩點，將線段MN的長|MN|表示為m的函數(shù)，并求|MN|的最大值。

Answer 1

解：（1）設（）為定值，
所以C點的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，所以焦距，
因為
又，
所以，由題意得，
所以C點軌跡G的方程為；
（2）由題意知，|m|≥1；
當m=1時，切線l的方程為x=1，點M，N的坐標分別為，
此時|MN|=；
當m=-1時，同理可知|MN|=，
當|m|＞1時，設切線l的方程為y=k（x-m），
由得（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0，
設M，N兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x₁+x₂=，x₁x₂=，
又由l與圓x²+y²=1相切，得=1，即m²k²=k²+1，
所以
=
由于當m=±1時，|MN|=，所以|MN|=，m∈（-∞，-1 ]∪[1，+∞），
因為|MN|=≤2，且當m=±時，|MN|=2，
所以|MN|的最大值為2。