Question

（2013•門頭溝區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=sin²x+cosxcos（

π

2

-x）．
（Ⅰ）求f （

π

3

）的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及值域．

Answer 1

分析：（I）直接把x=

π

3

代入已知函數(shù)解析式即可求解
（II）利用二倍角公式及輔助角公式對已知函數(shù)進行化簡可得f（x）=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

，然后結合正弦函數(shù)的性質即可求解周期及值域

解答：解：（I）由已知，得f(

1

3

π)=sin2

1

3

π+cos

1

3

πcos(

1

2

π-

1

3

π)…（2分）
=

3

4

+

1

2

×

3

2

=

3+ 3

4

…（5分）
（II）f（x）=sin²x+sinxcosx
=

1-cos2x

2

+

sin2x

2

=

1

2

sin2x-

1

2

cos2x+

1

2

=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

函數(shù)f（x）的最小正周期T=π…（11分）
值域為[

1- 2

2

，

1+ 2

2

]…（13分）

點評：本題主要考查了二倍角公式、輔助角公式在三角函數(shù)的化簡中的應用及正弦函數(shù)的性質的簡單應用．