Question

如圖，多面體ABCDE中，AB⊥面ACD，DE⊥面ACD；三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2，AB=1
（1）求直線AE和面CDE所成角的正切值；
（2）求多面體ABCDE的體積；
（3）判斷直線CB和AE能否垂直，證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意及所給圖形，要求線面角，必需找到該斜線與其射影的夾角，而射影線是斜足與垂足所成的線，進(jìn)而在三角形中求出線面角 即可；
（2）利用棱錐的體積公式，由平面ABED⊥平面ACD，利用兩垂直平面的性質(zhì)的到線面垂直，進(jìn)而求出四棱錐的體積；
（3）利用向量的知識，利用線面垂直的判定定理證出線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直．
解答：解：（1）取CD的中點(diǎn)F，連接AF、EF，△ACD為正三角形，
∴AF⊥CD，DE⊥平面ACD，
∴平面CDE⊥平面ACD，
∴AF⊥平面CDE，∠AEF為所求AE和平面CDE所成的角，，，
直線AE和面CDE所角的正切值是．

（2）取AD中點(diǎn)G，平面ABED⊥平面ACD，CG⊥AD，
∴CG⊥平面ABED
∴
（3）證明：CB⊥AE，如圖建立坐標(biāo)系：
則E（2，0），A（0，2），B（1，2），G（0，1），
，，，
∴AE⊥GB
∵CG⊥AE，11
∴AE⊥平面CGB，∴AE⊥CB．
點(diǎn)評：（1）此問重點(diǎn)考查了利用面面垂直的性質(zhì)得到線面垂直，還考查了線面角的概念及線面角的求法；
（2）此問重點(diǎn)考查了四棱錐的體積公式；
（3）此問重點(diǎn)考查了利用向量的知識求證線面垂直進(jìn)而得到線面垂直．