Question

2．（x+1）²（$\frac{1}{x}$-1）⁵的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（　�。�

• A． 21
• B． 19
• C． 9
• D． -1

Answer 1

分析 本題是兩個(gè)多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，要求運(yùn)算結(jié)果中的常數(shù)項(xiàng)，注意第一個(gè)多項(xiàng)式的三項(xiàng)，要想得到常數(shù)必需是和約分以后得到常數(shù)的項(xiàng)相乘，寫出二項(xiàng)式中的三項(xiàng)，相乘再相加，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵（x+1）²（$\frac{1}{x}$-1）⁵=（x²+2x+1）（$\frac{1}{x}$-1）⁵，
根據(jù)二項(xiàng)式定理可知，（$\frac{1}{x}$-1）⁵展開式的通項(xiàng)公式為${C}_{5}^{r}$•（-1）^r•x^r-5，
∴（x+1）²（$\frac{1}{x}$-1）⁵的展開式中常數(shù)項(xiàng)由三部分構(gòu)成，
分別是（x²+2x+1）與（$\frac{1}{x}$-1）⁵展開式中各項(xiàng)相乘得到，
令r=3，則${C}_{5}^{3}$•（-1）³•x^-2，則1×（-${C}_{5}^{3}$）=-10；
令r=4，則${C}_{5}^{4}$•（-1）⁴•x^-1，則2×${C}_{5}^{4}$=10；
令r=5，則${C}_{5}^{5}$•（-1）⁵•x⁰，則1×（-1）=-1；
所以常數(shù)項(xiàng)為-10+10-1=-1．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求二項(xiàng)式展開式的常數(shù)項(xiàng)的應(yīng)用問題，在解題過程中應(yīng)用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則，是易錯(cuò)題．