Question

已知橢圓拋物線的焦點均在軸上，的中心和 的頂點均為坐標原點從每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于下表中：
（Ⅰ）求分別適合的方程的點的坐標；
（Ⅱ）求的標準方程.

Answer 1

（Ⅰ）和在拋物線上，和在橢圓上；（Ⅱ）的標準方程分別為．

試題分析：（Ⅰ）已知橢圓拋物線的焦點均在軸上，的中心和 的頂點均為坐標原點，可設拋物線的方程為，從每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于表中，要找出這兩點，只需將這四個點都代入拋物線的方程，求出的值相同兩點在拋物線上，另外兩點在橢圓上；（Ⅱ）求的標準方程，由（Ⅰ）的判斷就求出拋物線的方程，只需求橢圓的方程，由于橢圓為標準位置，且過，故，只需求出，又因為橢圓過，代入橢圓的方程可求出，從而得橢圓的方程．
試題解析：（Ⅰ）和代入拋物線方程中得到的解相同,
和在拋物線上，和在橢圓上．   4分
（Ⅱ）設的標準方程分別為：
將和代入拋物線方程中得到的解相同，      7分
和在橢圓上，代入橢圓方程得     10分
故的標準方程分別為     12分