Question

15．已知函數f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+cos2x+3（x∈R）．
（1）寫出函數f（x）的最小正周期；
（2）求函數f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{4}$]上的最大值，并求取最大值時對應的x的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用三角恒等變換化簡函數的解析式，再利用正弦函數的周期性得出結論．
（2）由 x∈[0，$\frac{π}{4}$]，利用正弦函數的定義域和值域，求得函數f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{4}$]上的最大值，以及取最大值時對應的x的值．

解答 解：（1）∵函數f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+cos2x+3=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+3=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+3，
∴函數f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]，可得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，∴當2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，函數f（x）取得最大值為5，
此時，x=$\frac{π}{6}$．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數的周期性、定義域和值域，屬于中檔題．