Question

14．已知S_n是數列{a_n}的前n項和，若S_n=1-na_n（n=1，2，3，…），則S_n關于n的表達式為S_n=$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 利用a_n=S_n-S_n-1對S_n=1-na_n（n=1，2，3，…）進行變形，可得（n+1）S_n-nS_n-1=1、nS_n-1-（n-1）S_n-2=1、…、3S₂-2S₁=1，累加即得結論．

解答 解：∵S_n=1-na_n（n=1，2，3，…），
∴S_n=1-n（S_n-S_n-1）（n=2，3，…），
化簡得：（n+1）S_n-nS_n-1=1，
∴nS_n-1-（n-1）S_n-2=1，
…
3S₂-2S₁=1，
疊加得：（n+1）S_n-2S₁=n-1，
∵S₁=a₁=1-a₁，
∴a₁=$\frac{1}{2}$，
∴（n+1）S_n=n，即S_n=$\frac{n}{n+1}$，
故答案為：$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查求數列的和，對表達式的靈活變形是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．