Question

16．已知g（x）在[-1，1]上為減函數，且g（x）=λx+sinx，若g（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 利用g′（x）=λ+cosx≤0在[-1，1]上恒成立，得出λ≤-cosx，再結合三角函數的性質即可求λ的取值范圍．在利用函數g（x）在[-1，1]上單調遞減，求出其最大值，把g（x）≤t²-λt+1在x∈[-1，1]上恒成立轉化為其最大值小于等于t²-λt+1恒成立，進而得到（1-t）λ+t²+sin1+1≥0（其中λ≤-1）恒成立，再利用一次函數恒成立問題的解法即可求t出的取值范圍．

解答 解：∵g（x）=λx+sinx是區(qū)間[-1，1]上的減函數，
∴g′（x）=λ+cosx≤0在[-1，1]上恒成立，
∴λ≤-cosx．
又∵cosx∈[cos1，1]，
∴-cosx∈[-1，-cos1]．
∴λ≤-1．
∵g（x）在區(qū)間[-1，1]上單調遞減，
函數g（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，
∴g（x）_max=g（-1）=-λ-sin1≤t²+λt+1恒成立．
∴（t+1）λ+t²+sin1+1≥0（λ≤-1）恒成立．
令h（λ）=（t+1）λ+t²+sin1+1，
則$\left\{\begin{array}{l}{t+1≤0}\\{-t-1+{t}^{2}+sin1+1≥0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{t≤-1}\\{{t}^{2}-t+sin1≥0}\end{array}\right.$，而t²-t+sin1≥0恒成立，
∴t≤-1．

點評 本題主要考查函數單調性及函數恒成立問題．一次函數的恒成立問題一般要考慮一次項系數的符號及區(qū)間端點值的符號，該題屬于難題．