Question

6．設(shè)數(shù)列{a_n}，{b_n}，已知a₁=3，b₁=5，${a_{n+1}}=\frac{{4+{b_n}}}{2}$，${b_{n+1}}=\frac{{4+{a_n}}}{2}$，（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{b_n-a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：對(duì)任意n∈N^*，a_n+b_n為定值；
（3）設(shè)S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意n∈N^*，都有p•（S_n-4n）∈[1，3]，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)變形易得數(shù)列{b_n-a_n}是以2為首項(xiàng)、$-\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過(guò)變形可得${a_n}_{+1}+{b_{n+1}}-8=\frac{1}{2}（{a_n}+{b_n}-8）$，取n=1即得結(jié)論；
（3）通過(guò)a_n+b_n=8與${b_n}-{a_n}=2•{（-\frac{1}{2}）^{n-1}}$兩式相加可得S_n=4n+$\frac{2}{3}$[1-（-$\frac{1}{2}$）ⁿ]，通過(guò)p•（S_n-4n）∈[1，3]，化簡(jiǎn)可得$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$≤$\frac{2p}{3}$≤$\frac{3}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$，對(duì)n分奇偶數(shù)討論，可得$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$的最大值為$\frac{4}{3}$，$\frac{3}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$的最小值為2，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：（1）${b_{n+1}}-{a_n}_{+1}=\frac{{4+{a_n}}}{2}-\frac{{4+{b_n}}}{2}=\frac{{{a_n}-{b_n}}}{2}=-\frac{1}{2}（{b_n}-{a_n}）$，
又b₁-a₁=2，∴{b_n-a_n}是以2為首項(xiàng)，$-\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴${b_n}-{a_n}=2•{（-\frac{1}{2}）^{n-1}}$；
（2）∵${a_n}_{+1}+{b_{n+1}}=\frac{{4+{b_n}}}{2}+\frac{{4+{a_n}}}{2}=\frac{{{a_n}+{b_n}}}{2}+4$，
∴${a_n}_{+1}+{b_{n+1}}-8=\frac{1}{2}（{a_n}+{b_n}-8）$，
又a₁+b₁-8=0，∴a_n+b_n-8=0恒成立，
即a_n+b_n=8為定值；
（3）由（1）（2）得：a_n+b_n=8，${b_n}-{a_n}=2•{（-\frac{1}{2}）^{n-1}}$，
兩式相加即得：${b_n}=4+{（-\frac{1}{2}）^{n-1}}$，
∴S_n=4n+$\frac{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}{1-（-\frac{1}{2}）}$=4n+$\frac{2}{3}$[1-（-$\frac{1}{2}$）ⁿ]，
∴p•（S_n-4n）=$\frac{2p}{3}$•[1-（-$\frac{1}{2}$）ⁿ]，
∵p•（S_n-4n）∈[1，3]，∴1≤$\frac{2p}{3}$•[1-（-$\frac{1}{2}$）ⁿ]≤3，
∵1-（-$\frac{1}{2}$）ⁿ＞0，∴$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$≤$\frac{2p}{3}$≤$\frac{3}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$=$\frac{1}{1+\frac{1}{{2}^{n}}}$隨n的增大而遞增，且0＜$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$＜1；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{{2}^{n}}}$隨n的增大而遞增，且$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$＞1；
∴$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$的最大值為$\frac{4}{3}$，$\frac{3}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$的最小值為2，
∵$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$≤$\frac{2p}{3}$≤$\frac{3}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$，
∴$\frac{4}{3}$≤$\frac{2p}{3}$≤2，解得：2≤p≤3，
∴實(shí)數(shù)p的取值范圍為：[2，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)，考查分類討論的思想，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．