Question

利用單調性的定義，討論f（x）=

ax

x2-1

在（-1，1）上的單調性，a為實數(shù)且a≠0．

Answer 1

考點：函數(shù)單調性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：根據(jù)單調性的定義，設x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，討論a，判斷f（x₁）與f（x₂）的大小，即可判斷f（x）在（-1，1）上的單調性．

解答： 解：設-1＜x₁＜x₂＜1；
則f（x₁）-f（x₂）=

ax1

x12-1

-

ax2

x22-1

=

a(x2-x1)(x1x2+1)

(x12-1)(x22-1)

；
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x12-1＜0，x22-1＜0，x2-x1＞0，x₁x₂+1＞0；
∴若a＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-1，1）上單調遞減；
若a＜0，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-1，1）上單調遞增．

點評：考查單調性的定義，以及利用定義判斷函數(shù)單調性的過程．