Question

若函數(shù)y=f（x）（x∈D）同時滿足下列條件：
（1）f（x）在D內(nèi)為單調(diào)函數(shù)；
（2）f（x）的值域為D的子集，則稱此函數(shù)為D內(nèi)的“保值函數(shù)”．
已知函數(shù)f（x）=，g（x）=ax²+b．
①當(dāng)a=2時，f（x）=是[0，+∞）內(nèi)的“保值函數(shù)”，則b的最小值為________；
②當(dāng)-1≤a≤1，且a≠0，-1≤b≤1時，g（x）=ax²+b是[0，1]內(nèi)的“保值函數(shù)”的概率為________．

Answer 1

解：①，根據(jù)題意，a=2，則f（x）=，
f′（x）=2^x＞0，則f（x）在[0，+∞）為增函數(shù)，
故f（x）的最小值為f（0）=，其最大值不存在，則f（x）的值域為[，+∞），
又由f（x）在[0，+∞）是“保值函數(shù)”，
則有≥0，解可得b≥2；
故b的最小值為2．
②，根據(jù)題意，-1≤a≤1，且a≠0，-1≤b≤1，
則a、b確定的區(qū)域為邊長為2的正方形，其面積為4；
對于f（x），有f′（x）=2ax，x∈[0，1]，
當(dāng)-1≤a＜0時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
則f（x）的最大值為f（0）=b，最小值為f（1）=a+b，則f（x）的值域為[a+b，a]，
若f（x）為保值函數(shù)，則有，
其表示的區(qū)域為陰影三角形A，面積為=，
當(dāng)0＜a≤1時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
則f（x）的最小值為f（0）=b，最大值為f（1）=a+b，則f（x）的值域為[a，a+b]，
若f（x）為保值函數(shù)，則有，
其表示的區(qū)域為陰影三角形B，面積為=；
f（x）為保值函數(shù)對應(yīng)區(qū)域的面積為1；
則f（x）為保值函數(shù)的概率為；
故答案為①2，②．
分析：①，由題意可得f（x）的解析式，對其求導(dǎo)判斷可得f（x）為增函數(shù)，進而可得f（x）的值域，根據(jù)題意中保值函數(shù)的定義，可得≥0，解可得b的范圍，即可得答案．
②，根據(jù)題意，由a、b的范圍分析可得其表示的平面區(qū)域，計算可得其面積，對于函數(shù)f（x），分-1≤a＜0與0＜a≤1兩種情況，先分析出f（x）的單調(diào)性，由此得到f（x）的值域，進而由保值函數(shù)的定義，可得關(guān)于a、b的不等式組，分析可得其對應(yīng)的平面區(qū)域，易得其面積，綜合兩種情況可得f（x）為保值函數(shù)對應(yīng)的平面區(qū)域即面積，由幾何概型公式計算可得答案．
點評：本題考查幾何概型的計算以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，關(guān)鍵是理解保值函數(shù)的定義．