Question

（2012•洛陽模擬）選修4-5：不等式選講   設函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-4|-a．
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若f(x)≥

4

a

+1對任意的實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=1時，利用絕對值不等式的性質(zhì)即可求得最小值；
（2）f(x)≥

4

a

+1?|x+1|+|x-4|-1≥a+

4

a

?a+

4

a

≤4，對a進行分類討論可求a的取值范圍．

解答：解：（1）當a=1時，f（x）=|x+1|+|x-4|-1≥|（x+1）-（x-4）|-1=5-1=4．
所以函數(shù)f（x）的最小值為4．
（2）f(x)≥

4

a

+1對任意的實數(shù)x恒成立?|x+1|+|x-4|-1≥a+

4

a

對任意的實數(shù)x恒成立?a+

4

a

≤4對任意實數(shù)x恒成立．
當a＜0時，上式顯然成立；
當a＞0時，a+

4

a

≥2

a• 4 a

=4，當且僅當a=

4

a

即a=2時上式取等號，此時a+

4

a

≤4成立．
綜上，實數(shù)a的取值范圍為（-∞，0）∪{2}．

點評：本題考查絕對值函數(shù)、基本不等式以及恒成立問題，考查分類討論思想，恒成立問題一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決，．